Sistem de numere binar. Sistem de numere binar Convertiți 121 din zecimal în binar

Toate sistemele de numere poziționale sunt egale, dar în funcție de problemele pe care o persoană le rezolvă folosind numere, poate folosi sisteme de numere cu baze diferite.

Sistemul numeric cel mai des folosit este sistemul numeric zecimal, adică. un sistem numeric al cărui alfabet este format din zece cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) și, în consecință, baza este egală cu zece. Utilizarea pe scară largă a acestui sistem de numere este ușor de explicat. În primul rând, scrierea unui număr în sistemul numeric zecimal este destul de compactă, iar în al doilea rând, sistemul numeric zecimal a fost folosit de omenire de câteva secole. În acest timp, oamenii s-au obișnuit cu numerele, să scrie numere și să pronunțe numerele în sistemul numeric zecimal, de exemplu, intrarea „15” este de înțeles pentru orice persoană și o va citi ca cincisprezece, dar același număr. scris în sistemul de numere binar „1111” provoacă cel puțin o ușoară nedumerire în ceea ce privește modul de citire a acestui număr.

Și totuși, este imposibil să afirmăm fără echivoc că sistemul numeric zecimal este alegerea optimă a umanității pentru a lucra cu numere. Să demonstrăm acest lucru cu mai multe exemple.

Vă amintiți cu toții de tabla înmulțirii și, bineînțeles, vă amintiți cât de mult efort a trebuit să depuneți pentru a învăța această masă. Nu vom da aici tabla înmulțirii în sistemul numeric zecimal, dar pentru comparație dăm masa înmulțirii în sistemul numeric binar:

După cum puteți vedea, tabelul înmulțirii în sistemul numeric binar arată mult mai simplu decât în ​​sistemul numeric zecimal.

Compactitatea scrierii numerelor în sistemul numeric zecimal nu este, de asemenea, cea mai mare în toate sistemele de numere cu o bază mai mare de zece, numerele vor fi scrise mai compact, de exemplu, același număr „15” va fi scris ca „F”; în sistemul numeric hexazecimal.

După cum sa menționat deja în paragraful 5, sistemul de numere binare este adoptat pentru înregistrarea numerelor într-un computer. În acest paragraf trebuie să înțelegem cum sunt reprezentate numerele în memoria computerului, pentru aceasta va fi suficient să înțelegem regulile de conversie a numerelor zecimale în sistemul numeric binar.

În practică, pentru a converti numerele dintr-un sistem numeric de bază zece într-un sistem de numere de bază doi, utilizați următoarea regulă:

1. Un număr scris în sistemul numeric baza zece este împărțit cu restul la doi (baza noului sistem numeric), scris în cifre ale sistemului numeric în bază zece (vechiul sistem numeric), până când coeficientul se dovedește a fi fi 0.

2. Resturile obținute din împărțire, scrise în ordine inversă, formează un număr în noul sistem numeric cu baza doi.

Această regulă este mai convenabil de utilizat pentru conversia numerelor din sistemul numeric zecimal. Pentru a converti înapoi la sistemul numeric zecimal, este mai convenabil să utilizați așa-numitul Schema Horner.

1.Numerează pozițiile din număr, de la dreapta la stânga, începând de la zero;

2. Compuneți o serie reprezentând suma produselor cifrelor unui număr după baza vechiului sistem de numere, scrise în cifrele noului sistem de numere, ridicate la o putere egală cu numărul de poziție al cifrei în număr;

3. Aflați suma seriei.

Să ne uităm la aceste reguli folosind exemple specifice.

Exemplul 1: Scrieți numărul zecimal 121 în sistemul numeric binar.

121 | 2 121 D = 1111001 B

120 60 | 2

1 60 30 | 2

0 30 15 | 2

0 14 7 | 2

1 6 3 | 2

Scopul lucrării. Studierea metodelor și dezvoltarea abilităților de conversie a numerelor dintr-un sistem de numere pozițional în altul.

Numărul de cifre diferite utilizate într-un sistem pozițional determină numele sistemului de numere și este apelat bază al-lea sistem de numere.

Orice număr N dintr-un sistem numeric pozițional cu o bază poate fi reprezentat ca un polinom de la bază :

Unde
- număr, - cifrele numărului (coeficienți la puteri ),- baza sistemului de numere ( >1).

Numerele sunt scrise ca o succesiune de numere:

.
, un punct din succesiune separă partea întreagă a numărului de partea fracțională (coeficienți pentru puteri nenegative, de coeficienți pentru puteri negative). Punctul este omis dacă numărul este un întreg (fără puteri negative).

Sistemele informatice folosesc sisteme de numere poziționale cu o bază non-zecimală: binar, octal, hexazecimal.

Baza hardware a unui computer constă din elemente cu două poziții care pot fi doar în două stări; dintre care unul este desemnat 0, iar celălalt - 1. Prin urmare, calculatorul principal aritmetic-logic este sistemul de numere binar.

Sistem de numere binar. Sunt utilizate două cifre: 0 și 1. În sistemul binar, orice număr poate fi reprezentat ca:
.
, Unde fie 0, fie 1.

Această intrare corespunde sumei puterilor lui 2 luate cu coeficienții indicați:

Sistem de numere octale. Sunt utilizate opt cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Folosit într-un computer ca auxiliar pentru înregistrarea informațiilor în formă abreviată. Pentru a reprezenta o cifră a sistemului octal, sunt utilizate trei cifre binare (triada) (vezi Tabelul 1).

Sistem de numere hexazecimale. 16 cifre sunt folosite pentru a reprezenta numere. Primele zece cifre ale acestui sistem sunt desemnate prin numere de la 0 la 9, iar cele șase cifre superioare prin litere latine: A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15). Sistemul hexazecimal, ca și sistemul octal, este folosit pentru a înregistra informații în formă prescurtată. Pentru a reprezenta o cifră a sistemului numeric hexazecimal, sunt folosite patru cifre binare (tetradă) (vezi Tabelul 1).

Tabelul 1.

Alfabetele sistemelor de numere poziționale (ss)

Exercitiul 1. Convertiți numerele din sistemele de numere date în sistemul zecimal.

Instrucțiuni metodice.

Convertirea numerelor în sistemul zecimal se realizează prin compilarea sumei unei serii de puteri cu baza sistemului din care este convertit numărul. Valoarea acestei sume este apoi calculată.

Exemple.

a) Traduceți s.s. 

.

b) Traduceți
s.s.

c) Traduceți
s.s.

Sarcina 2. Convertiți numere întregi din zecimal în octal, hexazecimal și binar.

Instrucțiuni metodice.

Conversia numerelor zecimale întregi în sisteme octale, hexazecimale și binare se realizează prin împărțirea secvenţială a numărului zecimal la baza sistemului în care este convertit până când câtul este egal cu zero. Numărul din noul sistem se scrie ca resturi de împărțire, începând de la ultimul.

Exemple.

a) Traduceți
s.s.

181: 8 = 22 (restul 5)

22: 8 = 2 (restul 6)

2: 8 = 0 (restul 2)

Răspuns:
.

b) Traduceți
s.s.

Tabelul arată împărțirea:

622: 16 = 38 (restul 14 10 = E 16)

38: 16 = 2 (restul 6)

2: 16 = 0 (restul 2)

Răspuns:
.

Sarcina 3. Convertiți zecimale obișnuite din zecimal în octal, hexazecimal și binar.

Folosind acest calculator online puteți converti numere întregi și fracționale dintr-un sistem numeric în altul. Se oferă o soluție detaliată cu explicații. Pentru a traduce, introduceți numărul original, specificați baza sistemului de numere al numărului inițial, specificați baza sistemului de numere în care doriți să convertiți numărul și faceți clic pe butonul „Traduceți”. Vezi mai jos partea teoretică și exemple numerice.

Rezultatul a fost deja primit!

Conversia numerelor întregi și fracțiilor dintr-un sistem numeric în oricare altul - teorie, exemple și soluții

Există sisteme numerice poziționale și nepoziționale. Sistemul de numere arabe, pe care îl folosim în viața de zi cu zi, este pozițional, dar sistemul de numere roman nu este. În sistemele de numere poziționale, poziția unui număr determină în mod unic mărimea numărului. Să luăm în considerare acest lucru folosind exemplul numărului 6372 din sistemul numeric zecimal. Să numerotăm acest număr de la dreapta la stânga începând de la zero:

Apoi, numărul 6372 poate fi reprezentat astfel:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Numărul 10 determină sistemul numeric (în acest caz este 10). Valorile poziției unui număr dat sunt luate ca puteri.

Luați în considerare numărul zecimal real 1287,923. Să-l numerotăm începând de la poziția zero a numărului de la virgulă zecimală la stânga și la dreapta:

Atunci numărul 1287.923 poate fi reprezentat ca:

1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

În general, formula poate fi reprezentată după cum urmează:

C n s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

unde C n este un număr întreg în poziție n, D -k - număr fracționar în poziția (-k), s- sistemul de numere.

Câteva cuvinte despre sistemele numerice Un număr în sistemul numeric zecimal este format din multe cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), în sistemul numeric octal este format din multe cifre. (0,1, 2,3,4,5,6,7), în sistemul numeric binar - dintr-un set de cifre (0,1), în sistemul numeric hexazecimal - dintr-un set de cifre (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), unde A,B,C,D,E,F corespund numerelor 10,11, 12,13,14,15 În tabelul Tab.1 numerele sunt prezentate în diferite sisteme numerice.

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Pentru a converti numerele dintr-un sistem numeric în altul, cel mai simplu mod este să convertiți mai întâi numărul în sistemul numeric zecimal, apoi convertiți din sistemul numeric zecimal în sistemul numeric necesar.

Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal

Folosind formula (1), puteți converti numerele din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal.

Exemplu 1. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul numeric binar (SS) în SS zecimal. Soluţie:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Exemplu2. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul de numere octale (SS) în SS zecimal. Soluţie:

Exemplu 3 . Convertiți numărul AB572.CDF din sistemul numeric hexazecimal în SS zecimal. Soluţie:

Aici A-inlocuit cu 10, B- la 11, C- la 12, F- pana la 15.

Conversia numerelor din sistemul numeric zecimal în alt sistem numeric

Pentru a converti numerele din sistemul de numere zecimal într-un alt sistem de numere, trebuie să convertiți separat partea întreagă a numărului și partea fracțională a numărului.

Partea întreagă a unui număr este convertită din SS zecimal într-un alt sistem de numere prin împărțirea secvențială a părții întregi a numărului la baza sistemului de numere (pentru SS binar - la 2, pentru SS 8-ary - la 8, pentru 16 -ary SS - cu 16, etc.) până când se obține un reziduu întreg, mai mic decât baza CC.

Exemplu 4 . Să convertim numărul 159 din SS zecimal în SS binar:

După cum se poate observa din Fig. 1, numărul 159 când este împărțit la 2 dă câtul 79 și restul 1. În plus, numărul 79 când este împărțit la 2 dă câtul 39 și restul 1 etc. Ca rezultat, construind un număr din resturile de împărțire (de la dreapta la stânga), obținem un număr în SS binar: 10011111 . Prin urmare putem scrie:

159 10 =10011111 2 .

Exemplu 5 . Să convertim numărul 615 din SS zecimal în SS octal.

Când convertiți un număr dintr-un SS zecimal într-un SS octal, trebuie să împărțiți succesiv numărul la 8 până când obțineți un rest întreg mai mic decât 8. Ca rezultat, construind un număr din resturile de diviziune (de la dreapta la stânga) obținem un număr în SS octal: 1147 (vezi fig. 2). Prin urmare putem scrie:

615 10 =1147 8 .

Exemplu 6 . Să convertim numărul 19673 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.

După cum se poate observa din figura 3, împărțind succesiv numărul 19673 la 16, resturile sunt 4, 12, 13, 9. În sistemul numeric hexazecimal, numărul 12 corespunde lui C, numărul 13 la D. Prin urmare, numărul nostru numărul hexazecimal este 4CD9.

Pentru a converti fracții zecimale regulate (un număr real cu o parte întreagă zero) într-un sistem numeric cu baza s, este necesar să înmulțim succesiv acest număr cu s până când partea fracțională conține un zero pur sau obținem numărul necesar de cifre . Dacă, în timpul înmulțirii, se obține un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci această parte întreagă nu este luată în considerare (sunt incluse secvenţial în rezultat).

Să ne uităm la cele de mai sus cu exemple.

Exemplu 7 . Să convertim numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS binar.

După cum se poate vedea din Fig. 4, numărul 0,214 este înmulțit succesiv cu 2. Dacă rezultatul înmulțirii este un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci partea întreagă este scrisă separat (în stânga numărului), iar numărul este scris cu o parte întreagă zero. Dacă înmulțirea are ca rezultat un număr cu o parte întreagă zero, atunci se scrie un zero în stânga acestuia. Procesul de înmulțire continuă până când partea fracțională ajunge la zero pur sau obținem numărul necesar de cifre. Scriind numere îngroșate (Fig. 4) de sus în jos obținem numărul necesar în sistemul numeric binar: 0. 0011011 .

Prin urmare putem scrie:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Exemplu 8 . Să convertim numărul 0,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar.

Pentru a converti numărul 0,125 din zecimal SS în binar, acest număr este înmulțit succesiv cu 2. În a treia etapă, rezultatul este 0. În consecință, se obține următorul rezultat:

0.125 10 =0.001 2 .

Exemplu 9 . Să convertim numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.

Urmând exemplele 4 și 5, obținem numerele 3, 6, 12, 8, 11, 4. Dar în SS hexazecimal, numerele 12 și 11 corespund numerelor C și B. Prin urmare, avem:

0,214 10 = 0,36C8B4 16 .

Exemplu 10 . Să convertim numărul 0,512 din sistemul numeric zecimal în SS octal.

A primit:

0.512 10 =0.406111 8 .

Exemplu 11 . Să convertim numărul 159,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 4) și partea fracțională a numărului (Exemplul 8). Combinând în continuare aceste rezultate, obținem:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Exemplu 12 . Să convertim numărul 19673,214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 6) și partea fracțională a numărului (Exemplul 9). În plus, combinând aceste rezultate, obținem.