Operaciones aritméticas en sistemas numéricos. Operaciones aritméticas en varios sistemas numéricos Aritmética del sistema numérico octal.

Solía ​​​​trabajar con datos. codificación, es decir. expresar datos de un tipo en términos de datos de otro tipo.

La tecnología informática también tiene su propio sistema: se llama codificación binaria y se basa en representar los datos como una secuencia de sólo dos caracteres: 0 y 1. Estos caracteres se llaman dígitos binarios, en Inglés - dígito binario o, para abreviar, poco (poco).

Un bit puede expresar dos conceptos: 0 o 1 (Sí o no, negro o blanco, verdadero o mentir etcétera.). Si el número de bits se aumenta a dos, se pueden expresar cuatro conceptos diferentes:

Tres bits pueden codificar ocho valores diferentes: 000 001 010 011 100 101 110 111

Al aumentar en uno el número de bits en el sistema de codificación binaria, duplicamos el número de valores que se pueden expresar en este sistema, es decir, la fórmula general queda así:

norte=2metros, Dónde:

NORTE- número de valores codificados independientes;

t- profundidad de bits de la codificación binaria adoptada en este sistema.

Dado que un bit es una unidad de medida tan pequeña, en la práctica se utiliza con mayor frecuencia una unidad más grande: un byte, equivalente a ocho bits.

También se utilizan unidades de datos derivados más grandes:

Kilobyte (KB) = 1024 bytes = 2 10 bytes;

Megabyte (MB) = 1024 KB = 2 20 bytes;

Gigabytes (GB) = 1024 MB = 2 30 bytes.

Recientemente, debido al aumento en el volumen de datos procesados, se han derivado unidades como:

Terabytes (TB) = 1024 GB = 2 40 bytes;

Petabyte (PB) = 1024 TB = 2 50 bytes;

Exabyte (Ebyte) = 1024 PB = 260 bytes.

Codificar información de texto se produce utilizando el Código estándar estadounidense para el intercambio de información ASCII, que establece códigos de caracteres del 0 al 127. Los estándares nacionales asignan 1 byte de información por carácter e incluyen una tabla de códigos ASCII, así como códigos alfabéticos nacionales con números del 128 al 255. Actualmente existen cinco codificaciones cirílicas diferentes: KOI-8, MS-DOS, Windows, Macintosh e ISO. A finales de los años 90 apareció un nuevo estándar internacional, Unicode, que asigna no un byte, sino dos bytes por cada carácter y, por lo tanto, se puede utilizar para codificar no solo varios caracteres.

Tabla de codificación básica ASCII se da en la tabla.

Codificación de gráficos en color Se realiza mediante un ráster, donde cada punto está asociado a su número de color. En el sistema de codificación RGB, el color de cada punto está representado por la suma de rojo (Red), verde (Green) y azul (Blue). En el sistema de codificación CMYK, el color de cada punto está representado por la suma de cian (Cyan), magenta (Magenta), amarillo (Yellow) y la adición de negro (Black, K).

Codificación de señal analógica

Históricamente, la primera forma tecnológica de recibir, transmitir y almacenar datos fue la representación analógica (continua) de una señal de audio, óptica, eléctrica o de otro tipo. Para recibir dichas señales, la computadora primero realiza una conversión de analógico a digital.

La conversión de analógico a digital implica medir una señal analógica en intervalos de tiempo regulares τ y codificar el resultado de la medición en una palabra binaria de n bits. En este caso, se obtiene una secuencia de palabras binarias de n bits, que representan una señal analógica con una precisión determinada.

El estándar de CD actual utiliza lo que se denomina "audio de 16 bits con una velocidad de escaneo de 44 kHz". Para la figura anterior, traducida al lenguaje normal, esto significa que la “longitud del paso” (t) es igual a 1/44000 s, y la “altura del paso” (δ) es 1/65,536 del volumen máximo de la señal (desde 2 16 = 65.536). En este caso, el rango de frecuencia de reproducción es de 0 a 22 kHz y el rango dinámico es de 96 decibelios (que es una característica de calidad completamente inalcanzable para la grabación de sonido magnético o mecánico).

Compresión de datos.

El volumen de datos procesados ​​y transmitidos está creciendo rápidamente. Esto se debe a la implementación de procesos de aplicación cada vez más complejos, la aparición de nuevos servicios de información y el uso de imágenes y sonido.

Compresión de datos- un proceso que reduce el volumen de datos. La compresión le permite reducir drásticamente la cantidad de memoria necesaria para almacenar datos y reducir (a un tamaño aceptable) el tiempo necesario para transferirlos. La compresión de imágenes es especialmente eficaz. La compresión de datos se puede realizar mediante software, hardware o una combinación de métodos.

La compresión de textos se asocia con un diseño más compacto. bytes, caracteres de codificación. Esto también utiliza un contador de repetición de espacio. En cuanto al sonido y las imágenes, la cantidad de información que los representa depende del paso de cuantificación seleccionado y del número de bits de conversión de analógico a digital. En principio, aquí se utilizan los mismos métodos de compresión que en el procesamiento de textos. Si la compresión de texto se produce sin pérdida de información, la compresión de audio e imágenes casi siempre provoca cierta pérdida de información. La compresión se utiliza ampliamente en el archivo de datos.

Notación– representación de un número mediante un conjunto específico de símbolos. Los sistemas numéricos son:

1. Sencillo (sistema de etiqueta o palo);

2. No posicional (romano);

3. Posicional (decimal, binario, octal, hexadecimal, etc.).

posicional es un sistema numérico en el que el valor cuantitativo de cada dígito depende de su lugar (posición) en el número. La base Un sistema numérico posicional es un número entero que se puede elevar a una potencia y es igual al número de dígitos del sistema.

El sistema numérico binario incluye un alfabeto de dos dígitos: 0 y 1.

El sistema numérico octal incluye un alfabeto de 8 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

El sistema numérico decimal incluye un alfabeto de 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

El sistema numérico hexadecimal incluye un alfabeto de 16 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

			A B C D E F

En tecnología informática, la codificación se utiliza en el sistema numérico binario, es decir, secuencia de 0 y 1.

Para convertir un número entero de un sistema numérico a otro, debe realizar el siguiente algoritmo:

1. Expresa la base del nuevo sistema numérico usando los números del sistema numérico original.

2. Divide consistentemente el número dado por la base del nuevo sistema numérico hasta obtener un cociente que sea menor que el divisor.

3. Convierta los saldos resultantes al nuevo sistema numérico.

4. Componga un número a partir de los restos en el nuevo sistema numérico, comenzando con el último resto.

En general, en un SS posicional con base P, cualquier número X se puede representar como un polinomio de base P:

Х = а n Р n + a n-1 P n-1 + … + a 1 P 1 + a o P 0 + a -1 P -1 + a -2 P -2 + …+ a -m P -m ,

donde los coeficientes a i pueden ser cualquiera de los P dígitos utilizados en SS con base P.

La conversión de números de 10 SS a cualquier otro para las partes enteras y fraccionarias de un número se realiza mediante varios métodos:

a) se divide la parte entera del número y los cocientes intermedios por la base del nuevo SS, expresada en 10 SS hasta que el cociente de la división sea menor que la base del nuevo SS. Las acciones se realizan en 10 SS. El resultado son los cocientes, escritos en orden inverso.

b) la parte fraccionaria del número y las partes fraccionarias resultantes de los productos intermedios se multiplican por la base del nuevo SS hasta lograr la precisión especificada, o se obtiene "0" en la parte fraccionaria del producto intermedio. El resultado son partes enteras de obras intermedias, registradas en el orden en que fueron recibidas.

Usando la fórmula (1), puede convertir números de cualquier sistema numérico al sistema numérico decimal.

Ejemplo 1. Convierta el número 1011101.001 del sistema numérico binario (SS) al SS decimal. Solución:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2-1+ 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Ejemplo 2. Convierta el número 1011101.001 del sistema numérico octal (SS) al SS decimal. Solución:

Ejemplo 3. Convierta el número AB572.CDF del sistema numérico hexadecimal al decimal SS. Solución:

Aquí A-reemplazado por 10, B- a las 11, C- a las 12, F- a las 15.

Para convertir un número 8 (16) a 2, basta con reemplazar cada dígito de este número con el número binario correspondiente de 3 bits (4 bits). Deseche los ceros innecesarios en los dígitos altos y bajos.

Ejemplo 1: convertir el número 305,4 8 a SS binario.

(_3_ _0 _ _5 _ , _4 _) 8 = 011000101,100 = 11000101,1 2

Ejemplo 2: convertir el número 9AF,7 16 a СС binario.

(_9 __ _A __ _F __ , _7 __) 16 = 100110101111,0111 2

1001 1010 1111 0111

Para convertir el 2º número a 8 (16) SS proceda de la siguiente manera: moviéndose desde el punto decimal hacia la izquierda y hacia la derecha, divida el número binario en grupos de 3 (4) dígitos, complementando los grupos más a la izquierda y a la derecha con ceros si es necesario. Luego, cada grupo se reemplaza con el dígito octal (16) correspondiente.

Ejemplo 1: convierta el número 110100011110100111,1001101 2 a octal SS.

110 100 011 110 100 111,100 110 100 2 = 643647,464 8

Ejemplo 2: convierta el número 110100011110100111.1001101 2 a SS hexadecimal.

0011 0100 0111 1010 0111.1001 1010 2 = 347A7.9A 16

Operaciones aritmeticas En todos los sistemas numéricos posicionales, los números se realizan de acuerdo con las mismas reglas que usted conoce bien.

Suma. Consideremos sumar números en el sistema numérico binario. Se basa en una tabla para sumar números binarios de un solo dígito:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Es importante prestar atención al hecho de que al sumar dos unidades, el dígito se desborda y se transfiere al dígito más significativo. Un desbordamiento de dígitos ocurre cuando el valor del número que contiene se vuelve igual o mayor que la base.

La suma de números binarios de varios bits se produce de acuerdo con la tabla de suma anterior, teniendo en cuenta las posibles transferencias de dígitos de orden inferior a dígitos de orden superior. Como ejemplo, agreguemos los números binarios 110 2 y 11 2 en una columna:

Sustracción. Veamos cómo restar números binarios. Se basa en una tabla para restar números binarios de un solo dígito. Al restar un número mayor (1) de un número menor (0), se realiza un préstamo a partir del dígito más alto. En la tabla, el préstamo se designa 1 con una línea:

Multiplicación. La multiplicación se basa en la tabla de multiplicar para números binarios de un solo dígito:

División. La operación de división se realiza utilizando un algoritmo similar al algoritmo para realizar la operación de división en el sistema numérico decimal. Como ejemplo, dividamos el número binario 110 2 entre 11 2:

Para realizar operaciones aritméticas con números expresados ​​en diferentes sistemas numéricos, es necesario primero convertirlos al mismo sistema.

| Informática y Tecnologías de la Información y las Comunicaciones | Planificación de lecciones y materiales de lección. | 10 ° grado | Planificación de lecciones para el año académico (FSES) | Operaciones aritméticas en sistemas numéricos posicionales.

Lección 15
§12. Operaciones aritméticas en sistemas numéricos posicionales.

Operaciones aritméticas en sistemas numéricos posicionales.

Operaciones aritméticas en sistemas numéricos posicionales con base. q se realizan de acuerdo con reglas similares a las reglas vigentes en el sistema numérico decimal.

En la escuela primaria se utilizan las tablas de suma y multiplicación para enseñar a los niños a contar. Se pueden compilar tablas similares para cualquier sistema numérico posicional.

12.1. Suma de números en el sistema numérico con base q

Considere ejemplos de tablas de suma en sistemas numéricos ternario (Tabla 3.2), octal (Tabla 3.4) y hexadecimal (Tabla 3.3).

Tabla 3.2

Suma en el sistema numérico ternario

Tabla 3.3

Suma en sistema numérico hexadecimal

Tabla 3.4

Suma en el sistema numérico octal

q obtener la cantidad S dos numeros A Y B, necesitas sumar los dígitos que los forman por dígitos i de derecha a izquierda:

Si a i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
si a i + b i ≥ q, entonces s i = a i + b i - q, el dígito más significativo (i + 1) se incrementa en 1.

Ejemplos:

12.2. Restar números en el sistema numérico base q

De modo que en un sistema numérico con base q obtener la diferencia R dos numeros A Y EN, es necesario calcular las diferencias entre los dígitos formándolos por dígitos i de derecha a izquierda:

Si a i ≥ b i, entonces r i = a i - b i, el dígito más significativo (i + 1) no cambia;
si yo< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).

Se pueden realizar varias operaciones aritméticas con números escritos en cualquier sistema numérico. Las reglas para realizar estas operaciones en el sistema decimal son bien conocidas: son suma, resta, multiplicación por columna Y división por ángulo. Estas reglas se aplican a todos los demás sistemas numéricos posicionales. Solo Se deben utilizar tablas de suma y multiplicación.especialpara cada sistema.

Al sumar, los números se suman por dígitos, y si sobra, se traslada hacia la izquierda. La suma y multiplicación de números binarios se realiza de acuerdo con las reglas:

Ejemplos con números binarios:

101001 101 10111 1100,01

1011 + 011 + 10110 - 0,10

110100 1000 101101 1011,11

Multiplicación

Al multiplicar números de varios dígitos en diferentes sistemas numéricos posicionales, puede utilizar el algoritmo habitual para multiplicar números en una columna, pero los resultados de multiplicar y sumar números de un solo dígito deben tomarse prestados de las tablas de multiplicación y suma correspondientes al sistema en pregunta.

Debido a la extrema simplicidad de la tabla de multiplicar en el sistema binario, la multiplicación se reduce solo a desplazamientos del multiplicando y sumas.

00000 + 100111

00000 + 100111

11011 + 100111

11110011 101011010001

División

La división en cualquier sistema numérico posicional se realiza de acuerdo con las mismas reglas que la división por ángulo en el sistema decimal. En el sistema binario, la división es especialmente sencilla, porque el siguiente dígito del cociente sólo puede ser cero o uno.

101001101 1001 − 333 9 11110 110

1001 100101 27 37 - 110 101

1001 1001000 1000

Las operaciones aritméticas con números en sistemas numéricos octales y hexadecimales se realizan por analogía con los sistemas binario y decimal. Para hacer esto, necesita utilizar las tablas necesarias.

El procesador no sabe cómo realizar directamente la operación de resta, por lo que la resta debe reducirse a suma representando el sustraendo en el llamado código de complemento a dos. Consideremos primero el código inverso del número. Por ejemplo, 1001 (número original) y 0110 es el código inverso + 1 = 0111 código adicional.

Aquellos. La resta en aritmética binaria es la suma del minuendo con el complemento del sustraendo. Por ejemplo, de 101 2 resta 10 2

1) 10 2 = 010, su código inverso es 101

2) luego, aumentando el código inverso en 1 obtenemos el código adicional 110

110 (o 5-2=3)

4) Tenga en cuenta que el arrastre del resultado más alto significa que el resultado obtenido es positivo

Preguntas para el autocontrol

¿Cómo se llama un sistema numérico?

¿Cuál es la diferencia entre los sistemas numéricos posicionales y los no posicionales?

¿Cómo se determina el proceso de codificación de información y por qué es necesario?

¿Qué unidades de medida de la cantidad de información conoces?

¿Por qué la representación binaria de la información es uno de los principios básicos de funcionamiento de las computadoras modernas?

Convertir de binario a decimal: 10100011 2 y 1101011 2.

¿Cuál es la base del sistema numérico posicional natural?

¿Qué métodos para convertir números de un sistema numérico a otro conoces?

Material adicional

Ejemplo 1. Sumemos los números 15 y 6 en diferentes sistemas numéricos.

Ejemplo 2. Suma los números 15, 7 y 3.

Hexadecimal: F 16 +7 16 +3 16

Respuesta: 5+7+3 =25 10 =11001 2 =31 8 = 9 16. Comprueba: 11001 2 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25, 31 8 = 3*8 1 + 1*8 0 = 24 + 1 = 25, 19 16 = 1*16 1 + 9 *16 0 = 16+9 = 25.

Ejemplo 3. Suma los números 141,5 y 59,75.

Respuesta: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16

Examen. Convirtamos las cantidades resultantes a forma decimal: 11001001.01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201.25 311.2 8 = 3*8 2 + 1 8 1 + 1*8 0 + 2*8 - 1 = 201,25 C9.4 16 = 12*16 1 + 9*16 0 + 4*16 -1 = 201,25

Sistema de números binarios Suma de números binarios de un solo dígito: 0+0=0 1+0=1 0+1=1 1 + 1 = 10 Ejemplo 1101 + 101 -----10010

Sistema de números binarios Resta de números binarios de un solo dígito: 0 -0=0 1 -0=1 0 - 1 = (pedir prestado del dígito más significativo) 1 1 -1=0 Ejemplo: 1110 - 101 ---1001

Sistema de números binarios Multiplicación de números binarios de un solo dígito: 0*0=0 1*0=0 0*1=0 1*1=1 Ejemplo: 1110 * 10 -----+ 0000 1110 ------- 11100

Sistema numérico binario La división se realiza de la misma manera que en el sistema numérico decimal: 1110 10 11 10 10 10 111

Realizar operaciones aritméticas con números binarios de diferentes órdenes: se comparan órdenes; y están alineados, se realiza la suma o resta de la mantisa; El resultado se normaliza si es necesario.

Realización de operaciones aritméticas con números binarios de diferente orden: Ejemplo. Suma X 1=0.1001*2101 X 2=0.1100*2100 1) p=101 -100=001 X 2=0.0110*2101 2)0.1001 +0.0110 0.1111 3) X 1 + X 2=0, 1111*2101

Realización de operaciones aritméticas con números binarios de diferente orden: Ejemplo. Resta X 1=0.1001*2101 X 2=0.1100*2100 1) p=101 -100=001 X 2=0.0110*2101 2) 0.1001 -0.0110 0.0011 3) X 1 - X 2=0.0011*2101=0.11*211

Realización de operaciones aritméticas con números binarios de diferente orden: Ejemplo. Multiplicación X 1=q 1*2 p 1 X 2=q 2*2 p 2 X 1=10=0, 10*210 X 2=10=0, 10*210 0, 10 *0, 10 0 00 01 0 000____ 0, 0100 X 1*X 2=q 1*q 2*2(p 1+p 2) ð1+ð2=10+10=100 X 1*X 2=0, 0100*2100

Realización de operaciones aritméticas con números binarios de diferente orden: Ejemplo. División X 1=q 1*2 p 1 X 2=q 2*2 p 2 X 1=0, 110=110*2 -11 X 2=0, 10=10*2 -10 10 10 11 10 10 0 p1 -ð2=-11 -(-10)=-01 =11*2 -01

Las PC utilizan las siguientes cuadrículas de bits para representar números: 1 byte (8 bits) – media palabra 2 bytes (16 bits) – palabra 4 bytes (32 bits) – palabra binaria 8 bytes (64 bits) – palabra extendida -310 = -112 V La cuadrícula de ocho bits se verá así: 1000011 Para codificar el signo de un número, se asigna un bit especial, llamado bit de signo. Se le asigna el bit más antiguo de la cuadrícula, “+” se codifica 0, “-” se codifica 1.

Realizar operaciones aritméticas en códigos de máquina le permite: reducir la operación de resta a la operación de suma obtener automáticamente el signo de la suma detectar el desbordamiento de la cuadrícula de bits

Tipos de códigos de máquina El código directo de un número se representa como un valor absoluto con un signo de número binario: este es el número binario en sí, en el que todos los dígitos que representan su valor se escriben como en notación matemática y el signo se escribe como un código (0, 1) en el dígito más significativo. El código inverso de un número positivo es el mismo que su código directo. El código complementario del positivo es el mismo que su código directo. números

Tipos de códigos de máquina El código inverso de un número negativo se obtiene sustituyendo los valores de todos los dígitos del número por sus opuestos, a excepción del dígito del signo. 310 = 112 en código directo, complemento e inverso se verá así: 0000011 -310 = -112 en código directo se verá así: 1000011 -310 = -112 en código inverso se verá así: 11111100

Tipos de códigos máquina El código complementario de un número negativo se obtiene aumentando en 1 su código inverso. -310 = -112 el código inverso quedará así: 11111100 -310 = -112 el código complementario quedará así: 11111101

Ejemplo 1. Realizar una operación en código inverso X 1 -X 2=17 -5= 17+(-5)=12 [X 1] pr=0001 [X 2] pr=10000101 [X 1] arr=0001 [X 2 ] arr=11111010 Al realizar operaciones en código inverso, la unidad que va más allá del octavo dígito se suma al dígito de orden inferior del número.

Ejemplo 2. X 1 -X 2=5 -17= 5+(-17)=-12 [X 1] pr=00000101 [X 2] pr=10010001 00000101 +1110 11110011 arr. 10001100= -12 [X 1] arr=00000101 [X 2] arr=1110 La respuesta siempre se escribe en código directo. Si el resultado es un número negativo, entonces se debe convertir en código directo.

Ejemplo 3. Realizar una operación en código adicional X 1 -X 2=17 -5= 17+(-5)=12 [X 1] pr=0001 [X 2] pr=10000101 [X 1] arr=0001 [X 2 ] arr=11111010 [Х 1] extra=0001 [Х 2] extra=11111011 Al realizar operaciones en código de complemento a dos, la unidad que va más allá del octavo dígito se ECHA FUERA.

Ejemplo 4. X 1 -X 2=5 -17= 5+(-17)=-12 [X 1] pr=00000101 [X 2] pr=10010001 [X 1] arr=00000101 [X 2] arr= 1110 [X 1] extra=00000101 [X 2] extra= 11101111 Recibimos un número negativo en el extra. código. Para convertirlo en un código directo es necesario: 1. Invertir todos los dígitos del número, excepto el firmado; 2. Vuelva a sumar 1 al dígito menos significativo.

Códigos de máquina complementarios modificados El código complementario modificado se obtiene a partir del código complementario simplemente duplicando el bit de signo. "00" corresponde al signo "+", "11" al signo "-". Cualquier otra combinación (“01” o “10”) obtenida en los bits de signo es señal de desbordamiento de la cuadrícula de bits y el resultado resultante es incorrecto. firmar 5 4 3 2 1 0

Ejemplo Convirtamos X e Y en código complemento modificado: Realice la suma: ¡En este ejemplo, los bits de signo están separados por una coma! No hay desbordamiento (en los bits de signo “00” – el resultado es un número positivo), por lo que el resultado obtenido es correcto (X+Y=1111=41 -26= 15).

Ejemplo 2 Registro regular del número X= -41= - 101001 Y= 26= + 011010 Código inverso modificado 11 010110 00 011010 Código adicional modificado 11 010111 00 011010 X+Y= -41+26= -15 11 010111 +00 011010 11 110001 añadir. modificación. código No hay desbordamiento (en los bits de signo "11" - el resultado es un número negativo), por lo que el resultado resultante debe convertirse en un código directo. 11 110001 adicional modificación. código 11 001110 al revés. modificación. código + 1 11 001111, que corresponde al número - 1510