Sistema de numeración binario. Sistema de numeración binario Convertir 121 de decimal a binario

Todos los sistemas numéricos posicionales son iguales, pero dependiendo de los problemas que una persona resuelva usando números, puede usar sistemas numéricos con diferentes bases.

El sistema numérico más utilizado es el sistema numérico decimal, es decir. un sistema numérico cuyo alfabeto consta de diez dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) y, en consecuencia, la base es igual a diez. El uso generalizado de este sistema numérico se explica fácilmente. En primer lugar, escribir un número en el sistema numérico decimal es bastante compacto y, en segundo lugar, la humanidad ha utilizado el sistema numérico decimal durante varios siglos. Durante este tiempo, la gente se ha acostumbrado a los números, a escribir números y a pronunciar números en el sistema numérico decimal, por ejemplo, la entrada "15" es comprensible para cualquier persona y la leerá como quince, pero el mismo número escrito en el sistema numérico binario “1111” causa al menos un ligero desconcierto en cuanto a cómo leer este número.

Y, sin embargo, es imposible afirmar inequívocamente que el sistema numérico decimal sea la elección óptima de la humanidad para trabajar con números. Demostremos esto con varios ejemplos.

Todos recordáis la tabla de multiplicar y, por supuesto, recordáis cuánto esfuerzo tuvisteis que poner para aprender esta tabla. No daremos aquí la tabla de multiplicar en el sistema numérico decimal, pero a modo de comparación damos la tabla de multiplicar en el sistema numérico binario:

Como puede ver, la tabla de multiplicar en el sistema numérico binario parece mucho más simple que en el sistema numérico decimal.

La compacidad de escribir números en el sistema numérico decimal tampoco es la más alta en todos los sistemas numéricos con una base mayor que diez, los números se escribirán de manera más compacta, por ejemplo, el mismo número "15" se escribirá como "F"; en el sistema numérico hexadecimal.

Como ya se mencionó en el párrafo 5, el sistema numérico binario se adopta para registrar números en una computadora. En este párrafo debemos entender cómo se representan los números en la memoria de la computadora; para ello bastará con comprender las reglas para convertir números decimales al sistema numérico binario.

En la práctica, para convertir números de un sistema numérico de base diez a un sistema numérico de base dos, utilice la siguiente regla:

1. Un número escrito en el sistema numérico de base diez se divide con el resto entre dos (la base del nuevo sistema numérico), escrito en dígitos del sistema numérico de base diez (el antiguo sistema numérico), hasta que el cociente resulte ser 0.

2. Los restos obtenidos de la división, escritos en orden inverso, forman un número en el nuevo sistema numérico con base dos.

Esta regla es más conveniente de utilizar para convertir números del sistema numérico decimal. Para volver a convertir al sistema numérico decimal, es más conveniente utilizar el llamado Esquema de Horner.

1.Numerar las posiciones del número, de derecha a izquierda, comenzando desde cero;

2. Componer una serie que represente la suma de los productos de los dígitos de un número por la base del antiguo sistema numérico, escrita en los dígitos del nuevo sistema numérico, elevada a una potencia igual al número de posición del dígito en el número;

3. Encuentra la suma de la serie.

Veamos estas reglas usando ejemplos específicos.

Ejemplo 1: Escribe el número decimal 121 en el sistema numérico binario.

121 | 2 121D =1111001B

120 60 | 2

1 60 30 | 2

0 30 15 | 2

0 14 7 | 2

1 6 3 | 2

Objetivo de la obra. Estudiar métodos y desarrollar habilidades para convertir números de un sistema numérico posicional a otro.

El número de dígitos diferentes utilizados en un sistema posicional determina el nombre del sistema numérico y se llama base º sistema numérico.

Cualquier número N en un sistema numérico posicional con una base se puede representar como un polinomio desde la base :

Dónde
- número, - dígitos del número (coeficientes en potencias ),- base del sistema numérico ( >1).

Los números se escriben como una secuencia de números:

.
, un punto en la secuencia separa la parte entera del número de la parte fraccionaria (coeficientes para potencias no negativas, de coeficientes para potencias negativas). El punto se omite si el número es un número entero (sin potencias negativas).

Los sistemas informáticos utilizan sistemas numéricos posicionales con base no decimal: binario, octal, hexadecimal.

La base hardware de una computadora consta de elementos de dos posiciones que sólo pueden estar en dos estados; uno de los cuales se designa con 0 y el otro con 1. Por lo tanto, la computadora principal aritmético-lógica es el sistema numérico binario.

Sistema de numeración binario. Se utilizan dos dígitos: 0 y 1. En el sistema binario, cualquier número se puede representar como:
.
, Dónde ya sea 0 o 1.

Esta entrada corresponde a la suma de las potencias de 2 tomadas con los coeficientes indicados:

Sistema numérico octal. Se utilizan ocho dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Se utiliza en una computadora como auxiliar para registrar información en forma abreviada. Para representar un dígito del sistema octal, se utilizan tres dígitos binarios (tríada) (ver Tabla 1).

Sistema numérico hexadecimal. Se utilizan 16 dígitos para representar números. Los primeros diez dígitos de este sistema se designan con números del 0 al 9, y los seis dígitos superiores con letras latinas: A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15). El sistema hexadecimal, al igual que el sistema octal, se utiliza para registrar información en forma abreviada. Para representar un dígito del sistema numérico hexadecimal, se utilizan cuatro dígitos binarios (tétrada) (consulte la Tabla 1).

Tabla 1.

Alfabetos de sistemas numéricos posicionales (ss)

Ejercicio 1. Convierte números de los sistemas numéricos dados al sistema decimal.

Instrucciones metódicas.

La conversión de números al sistema decimal se realiza compilando la suma de una serie de potencias con la base del sistema a partir del cual se convierte el número. Luego se calcula el valor de esta cantidad.

Ejemplos.

a) Traducir s.s. 

.

b) Traducir
ss

c) Traducir
ss

Tarea 2. Convierte números enteros de decimal a octal, hexadecimal y binario.

Instrucciones metódicas.

La conversión de números decimales enteros a sistemas octal, hexadecimal y binario se realiza dividiendo secuencialmente el número decimal por la base del sistema al que se convierte hasta que el cociente sea igual a cero. El número en el nuevo sistema se escribe como restos de división, comenzando por el último.

Ejemplos.

a) Traducir
ss

181: 8 = 22 (resto 5)

22: 8 = 2 (resto 6)

2: 8 = 0 (resto 2)

Respuesta:
.

b) Traducir
ss

La tabla muestra la división:

622: 16 = 38 (resto 14 10 = E 16)

38: 16 = 2 (resto 6)

2: 16 = 0 (resto 2)

Respuesta:
.

Tarea 3. Convierte decimales regulares de decimal a octal, hexadecimal y binario.

Con esta calculadora en línea puedes convertir números enteros y fraccionarios de un sistema numérico a otro. Se proporciona una solución detallada con explicaciones. Para traducir, ingrese el número original, especifique la base del sistema numérico del número original, especifique la base del sistema numérico al que desea convertir el número y haga clic en el botón "Traducir". Vea la parte teórica y los ejemplos numéricos a continuación.

¡El resultado ya ha sido recibido!

Conversión de números enteros y fracciones de un sistema numérico a cualquier otro: teoría, ejemplos y soluciones

Hay sistemas numéricos posicionales y no posicionales. El sistema numérico arábigo, que utilizamos en la vida cotidiana, es posicional, pero el sistema numérico romano no. En los sistemas numéricos posicionales, la posición de un número determina de forma única la magnitud del número. Consideremos esto usando el ejemplo del número 6372 en el sistema numérico decimal. Numeremos este número de derecha a izquierda comenzando desde cero:

Entonces el número 6372 se puede representar de la siguiente manera:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

El número 10 determina el sistema numérico (en este caso es 10). Los valores de la posición de un número determinado se toman como potencias.

Considere el número decimal real 1287,923. Numerémoslo comenzando desde la posición cero del número desde el punto decimal hacia la izquierda y hacia la derecha:

Entonces el número 1287.923 se puede representar como:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10-3.

En general, la fórmula se puede representar de la siguiente manera:

c norte s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

donde C n es un número entero en posición norte, D -k - número fraccionario en la posición (-k), s- sistema de numeración.

Algunas palabras sobre los sistemas numéricos Un número en el sistema numérico decimal consta de muchos dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), en el sistema numérico octal consta de muchos dígitos. (0,1, 2,3,4,5,6,7), en el sistema numérico binario - de un conjunto de dígitos (0,1), en el sistema numérico hexadecimal - de un conjunto de dígitos (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), donde A,B,C,D,E,F corresponden a los números 10,11, 12,13,14,15. En la tabla Tab.1 los números se presentan en diferentes sistemas numéricos.

Convertir números de un sistema numérico a otro

Para convertir números de un sistema numérico a otro, la forma más sencilla es convertir primero el número al sistema numérico decimal y luego convertir del sistema numérico decimal al sistema numérico requerido.

Convertir números de cualquier sistema numérico al sistema numérico decimal

Usando la fórmula (1), puede convertir números de cualquier sistema numérico al sistema numérico decimal.

Ejemplo 1. Convierta el número 1011101.001 del sistema numérico binario (SS) al SS decimal. Solución:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2-1+ 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Ejemplo2. Convierta el número 1011101.001 del sistema numérico octal (SS) al SS decimal. Solución:

Ejemplo 3 . Convierta el número AB572.CDF del sistema numérico hexadecimal al decimal SS. Solución:

Aquí A-reemplazado por 10, B- a las 11, C- a las 12, F- a las 15.

Convertir números del sistema numérico decimal a otro sistema numérico

Para convertir números del sistema numérico decimal a otro sistema numérico, debe convertir la parte entera del número y la parte fraccionaria del número por separado.

La parte entera de un número se convierte de SS decimal a otro sistema numérico dividiendo secuencialmente la parte entera del número por la base del sistema numérico (para SS binario - por 2, para SS 8-ario - por 8, para 16 -ario SS - por 16, etc. ) hasta obtener un residuo entero, menor que la base CC.

Ejemplo 4 . Convirtamos el número 159 de SS decimal a SS binario:

Como se puede ver en la Fig. 1, el número 159 cuando se divide por 2 da el cociente 79 y el resto 1. Además, el número 79 cuando se divide por 2 da el cociente 39 y el resto 1, etc. Como resultado, construyendo un número a partir de los restos de la división (de derecha a izquierda), obtenemos un número en SS binario: 10011111 . Por tanto podemos escribir:

159 10 =10011111 2 .

Ejemplo 5 . Convirtamos el número 615 de SS decimal a SS octal.

Al convertir un número de SS decimal a SS octal, debe dividir secuencialmente el número entre 8 hasta obtener un resto entero menor que 8. Como resultado, al construir un número a partir de los restos de la división (de derecha a izquierda), obtenemos un número en octal SS: 1147 (ver figura 2). Por tanto podemos escribir:

615 10 =1147 8 .

Ejemplo 6 . Convirtamos el número 19673 del sistema numérico decimal al SS hexadecimal.

Como se puede ver en la Figura 3, al dividir sucesivamente el número 19673 entre 16, los restos son 4, 12, 13, 9. En el sistema numérico hexadecimal, el número 12 corresponde a C, el número 13 a D. Por lo tanto, nuestro El número hexadecimal es 4CD9.

Para convertir fracciones decimales regulares (un número real con parte entera cero) a un sistema numérico con base s, es necesario multiplicar sucesivamente este número por s hasta que la parte fraccionaria contenga un cero puro, o obtengamos el número requerido de dígitos. . Si durante la multiplicación se obtiene un número con una parte entera distinta de cero, entonces esta parte entera no se tiene en cuenta (se incluyen secuencialmente en el resultado).

Veamos lo anterior con ejemplos.

Ejemplo 7 . Convirtamos el número 0,214 del sistema numérico decimal al SS binario.

Como puede verse en la Fig. 4, el número 0,214 se multiplica secuencialmente por 2. Si el resultado de la multiplicación es un número con una parte entera distinta de cero, entonces la parte entera se escribe por separado (a la izquierda del número), y el número se escribe con parte entera cero. Si la multiplicación da como resultado un número con una parte entera cero, entonces se escribe un cero a la izquierda del mismo. El proceso de multiplicación continúa hasta que la parte fraccionaria llega a un cero puro u obtenemos el número requerido de dígitos. Al escribir números en negrita (Fig.4) de arriba a abajo obtenemos el número requerido en el sistema numérico binario: 0. 0011011 .

Por tanto podemos escribir:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Ejemplo 8 . Convirtamos el número 0,125 del sistema numérico decimal al SS binario.

Para convertir el número 0,125 de decimal SS a binario, este número se multiplica secuencialmente por 2. En la tercera etapa, el resultado es 0. En consecuencia, se obtiene el siguiente resultado:

0.125 10 =0.001 2 .

Ejemplo 9 . Convirtamos el número 0,214 del sistema numérico decimal a SS hexadecimal.

Siguiendo los ejemplos 4 y 5, obtenemos los números 3, 6, 12, 8, 11, 4. Pero en SS hexadecimal, los números 12 y 11 corresponden a los números C y B. Por lo tanto, tenemos:

0,214 10 = 0,36C8B4 16 .

Ejemplo 10 . Convirtamos el número 0,512 del sistema numérico decimal a SS octal.

Consiguió:

0.512 10 =0.406111 8 .

Ejemplo 11 . Convirtamos el número 159.125 del sistema numérico decimal al SS binario. Para hacer esto, traducimos por separado la parte entera del número (Ejemplo 4) y la parte fraccionaria del número (Ejemplo 8). Combinando aún más estos resultados obtenemos:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Ejemplo 12 . Convirtamos el número 19673.214 del sistema numérico decimal a SS hexadecimal. Para hacer esto, traducimos por separado la parte entera del número (Ejemplo 6) y la parte fraccionaria del número (Ejemplo 9). Además, combinando estos resultados obtenemos.